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2014年湖南永州高考三模文科数学试题及答案

信息类型:高考模拟题 -- 按类型分类 -- 高三_三模 日期:2015-09-17

绝密·启用前

永州市2014年高考第三次模拟考试试卷

  (理科)

命题人:申俭生(永州三中)   左加(永州一中)   王勇波(祁阳一中)

审题人:唐作明(永州市教科院)

参考公式:锥体的体积公式VSh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.

如果事件AB互斥,那么PAB)=PA)+PB);如果事件AB相互独立,那么PAB)=PAPB).

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1i是虚数单位,则

A  B   C   D1

2.为调查某中学某班48名学生的视力情况,打算采用系统抽样法从该班学生抽取4个学生进行抽样调查.在编号1~12的第一组如果抽到7号学生,则抽取的另外3名学生的编号是 

      A172737               B182736

C142128               D193143

3.已知px1q1,则pq

     A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

     C.充要条件      D.既不充分也不必要条件

4 执行右边的程序框图,如果输入a2,那么输出的结果为

       A 2     B3        C4      D5

5.如图所示是某一几何体的三视图,则它的体积为

    A1612π              B4812π

    C6412π              D6416π

6ABC中,sinA=cosB=,则cosC的值为

A  B  C  D

7.点F是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线同一支交于两点,则l倾斜角的取值范围是

A  B  C  D 

8 假设在时间间隔T内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入同一台手机,若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t(0<t<T),则手机受到干扰,手机受到干扰的概率是

    A  B  C  D

9如图,DEABCABAC上的点,已知AB3ADAE2ECBECD于点F,点PFBC内(含边界)一点,若,则的取值范围是

A       B       C       D

10.已知集合,若对于任意点,总存在不同时为0,使得成立,则称集合M正交对偶点集.下面给出四个集合:

      ;      

             

其中是正交对偶点集的序号是

A①②          B      C②③        D②④

二、填空题(本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,满分25分,把答案填在答

题卡中对应题号的横线上.)

(一)选做题(请考生在111213三题中任选两题作答,如全做则按前两题计分).

11已知曲线θ为参数),直线l的极坐标方程为(以直角坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系),则l截得弦长为               

12.如图,已知在中,上一点,以为圆心,为半径的圆与交于点,与切于点,则的长为       

13.已知 ,则y的最大值是       

(二)必做题1416题)

14       

15 函数y=2sinx(cosxsinx)x∈[0π]的单调递减区间是       

16.已知集合Un={1234 n},nn2,它的子集合AB满足:ABUABΦ,且若集合A的元素的个数不是集合A的元素,集合B的元素的个数不是集合B的元素,设满足条件的所有不同集合A的个数为an,如U3={123},满足条件的集合A为{2},{13}共两个,故a 32

1a 6        ;    2an        .(n2) .

三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(本小题满分12)某分公司有甲、乙、丙三个项目向总公司申报,总公司有三个部门进行评估审批,已知这三个部门的审批通过率分别为.只要有两个部门通过就能立项,立项的每个项目能获得总公司100万的投资.

 (1)求甲项目能立项的概率;

(2)设该分公司这次申报的三个项目获得的总投资额为X,求X的概率分布列及数学期望.

 

 

 

 

 

 

18(本小题满分12) 如图所示,四棱锥PABCD中,PAABCD AB//CDABC90oAPBC2AB=3CD1EFM分别是BCPAPD的中点.

1)求证:EF//PCD

2NAB上一点,且MNPCD,求二面角MPCN的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19(本小题满分12) 数列中,已知,对,恒有成立.

1)求证:数列是等比数列;

2)设,求数列n项和

 

 

 

 

 

 

20(本小题满分13) 如图是某校校门的一个局部的截面设计图,米,是以为圆心、为半径的圆的一段弧(两点分别在),k是常数且).通过对材料性能进行测算,跨度比不能超过

1)将该截面(图中实线围成的区域)的面积S表示为的函数;

2)为使该门口显得相对大气,截面积S越大越好. S最大时试求的值.

 

 

 

 

 

21(本小题满分13) 已知椭圆Ex2+2y2=6 的两个焦点为F1F2A是椭圆上位于第一象限的一点,AF1F2的面积为

(1)求点A的坐标;

(2)过点B30)的直线l1与椭圆E相交于点PQ,直线APAQ分别与x轴相交于点MN,过点C的直线l2与过点MN的圆G相切,切点为T,证明:线段CT的长为定值,并求出该定值.

 

 

 

 

22(本小题满分13)已知函数,其中

1)讨论的单调性;

2)假定函数在点处的切线为l,如果l与函数的图象除外再无其它公共点,则称l的一条单纯切线,我们称单纯切点 单纯切点时,求的取值范围

 

 

 

永州市2014年高考第三次模拟考试试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分,共50分)

ADABC  CDBCB 

二、填空题每小题5分,共25分)

(一)选做题(1113题,考生只能从中选做2题,如果多做则按前两题计分)

11          123         13 

(二)必做题(1416题)

 142  15 (区间可开可闭) 16.(110 2 

三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17(本题满分12分)

解:解:(1)三个部门审批通过分别计为事件ABC,则PA)=PB)=PC)=.……2

甲项目能立项的概率为:

甲项目能立项的概率为                                                         ………………………6

2X的可能取值为0100200300.           ………………………7

,………………9

X的概率分布列为:

X

0

100

200

300

P

 

 

 

…………………10

X的数学期望为EX(万).………12

另解:设通过的项目数为变量m,则mB3),X100mEX100×3×200万.

 18.(本小题满分12分)

解(1)证明:取PB中点G,连接GEGF,易证GE//PCGF//AB,而AB//CD,故GF //CDFGGE交于点G所以面EFG//PCD,故EF//PCD;          ………………………6

说明:(i)取AD的中点H,证明面EFH与面PCD平行也可;

(ii)建系利用坐标证明也可.

2)如图以B为坐标原点,BABC所在直线为xy轴,以过B垂直于底面向上的方向为z轴建立直角坐标系,P(302)C020),D120),M211),                       ………………………6

Nt00),,由MNPCD知:,故

PCD的法向量为                   ………………………9

设面NPC的法向量为,有

,则,      ………………………10

二面角MPCN的余弦值为.            ………………………12

19.(本小题满分12分)

解:(1)证明:(方法一),又,得,……………… 1

,有,两式相除得,知数列奇数项成等比,首项,公比q=4                                                ……………………3

 n为奇数时,,当 n为奇数时,则n为偶数,由  ,故对,恒有(定值),故数列是等比数列;                                                       ……………………6

(方法二),又,得

, 猜想:,              ………………2

下面用数学归纳法证明:(in1时,结论显然成立,             ………………3

ii)设当nk时,结论也成立,即,            ………………4

nk1时,,即,得,故对,恒有,故数列是等比数列;                                                               ………………6

2(方法一)

数列n项和即是数列奇数项和(共3n项),                 ………………10

                                                     ………………12

(方法二)由,则, ………………7,知数列是首项为

,公比为的等比数列,          ………………10

.         ……………12

20(本小题满分13分)

解:(1)易知,由

………1

根据余弦定理得

  记满足的锐角.     ………………3

   .        ……………6

2)由   , ……………8

,                    ……………9

,即 ,则时,S取得最大值.

此时.            ……………11

,即  ,则时,S取得最大值.

此时.           …………………………13

21.(本小题满分13分) 

解:1)设Axoy0),椭圆E的方程化为+=1,则F1F2=2,由F1F2·y0= y0=1,代入椭圆E的方程得x0=2,故A的坐标为(21).    ………………4

2)设P(x1y1) Q (x2y2),直线l1APAQ的斜率分别为kk1k2,由

,得,  ………………6

,求得:

易知x1x2是方程的两根,有 x1+x2=x1x2=,………………7

k1+k2=+=+

=2,                       ………………9

y1=k1(x2)y=0x3=+2,同理x4=+2,       ………………10

=+2=

G(+2t) 2=2 (

=+==                         ………………12

故线段CT的长为定值,该定值为.             ………………13

22(本小题满分13分) X

解:(1) 时,的定义域是,由

……………………1

,所以增区间是,减区间是                                                       ……………………4

时,则 ,所上为增函数.                                                                                        ……………………6

2)由,过的切线是

.               ……………………7

构造,   ……………………8

显然 ,依题意,应是的唯一零点.

如果,则,由易看出为减函数,在上为增函数,故是唯一零点.         ……………………9

如果,则有,由

舍去),为减函数,在上为增函数,故是唯一零点.                       ……………………10

如果,则由

时,为减函数,有,  

有零点,不合要求; 时, 为减函数,有  同理得有零点,不合要求;          ……………………12

时,,则,所以为增函数,是唯一零点.

综上所述,的取值范围是.       ……………………13

 

 

 

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