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湖南祁阳二中2015年高考数学三模试题及答案

信息类型:高考模拟题 -- 按类型分类 -- 高三_三模 日期:2015-09-17

 

湖南省永州市祁阳二中2015届高考数学三模试卷(理科)

 

一、选择题:本大题共10题每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.

1.(5分)已知复数z满足(3+4iz=25,则z=()

      A                       34i                           B                             3+4i  C 34i   D 3+4i

 

2.(5分)函数www.ziyuanku.com的定义域为()

      A                       (﹣4,﹣1              B                             (﹣41     C (﹣11    D (﹣11]

 

3.(5分)已知向量www.ziyuanku.com=λ+11),www.ziyuanku.com=λ+22),若(www.ziyuanku.com+www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com),则λ=()

      A                       4 B                       3 C                       2 D   1

 

4.(5分)把函数y=sinx+www.ziyuanku.com)图象上所有点向右平移www.ziyuanku.com个单位,再将所得图象的横坐标变为原来的www.ziyuanku.com倍(纵坐标不变),得图象的解析式是y=sinωx+ψ)(ω0|ψ|π),则()

      A                       ω=www.ziyuanku.comψ=www.ziyuanku.com           B                             ω=2ψ=www.ziyuanku.com   C ω=2ψ=0     D ω=2ψ=www.ziyuanku.com

 

5.(5分)等比数列{an}中,a4=2a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于()

      A                       6    B                       5    C                       4    D   3

 

6.(5分)a0函数fx=|x+a|在区间(0+)内单调递增的()

      A                                                         充分而不必要条件 B 充分必要条件

      C                                                         必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件

 

7.(5分)已知实数xy满足不等式组www.ziyuanku.com,若目标函数z=yax取得最大值时的唯一最优解是(13),则实数a的取值范围为()

      A                       a<﹣l                         B                             0al    C al   D a1

 

8.(5分)定义在R上的函数fx)满足:fx+fx)>1f0=4,则不等式exfx)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()

      A                       0+                   B                             (﹣03+      C (﹣00+      D                       3+

 

9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=www.ziyuanku.comSm=www.ziyuanku.commnN*mn),则下列各值中可以为Sn+m的值的是()

      A                       2    B                       3    C                       4    D   5

 

10.(5分)已知方程www.ziyuanku.com=k在(0+)上有两个不同的解αβαβ),则下列的四个命题正确的是()

      A                                                         sin2α=2αcos2α B cos2α=2αsin2α

      C                                                         sin2β=2βsin2β     D cos2β=2βsina2β

 

 

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25.

11.(5分)若www.ziyuanku.com,则k=

 

12.(5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是.

www.ziyuanku.com

 

13.(5分)已知正数xy满足x+2y=2,则www.ziyuanku.com的最小值为.

 

14.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=2an1,则数列{an}的通项公式为an=.(nN*

 

15.(5分)对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da0),给出定义:设fx)是函数y=fx)的导数,fx)是函数fx)的导数,若方程fx=0有实数解x0,则称点(x0fx0))为函数y=fx)的拐点,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.给定函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com,请你根据上面探究结果,解答以下问题:

1)函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com的对称中心坐标为;

2)计算fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com++fwww.ziyuanku.com=

 

 

三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(12分)已知函数www.ziyuanku.comxR

1)求www.ziyuanku.com的值;

2)若www.ziyuanku.com,求www.ziyuanku.com

 

17.(12分)已知不等式www.ziyuanku.com的解为www.ziyuanku.com

1)求mn的值;

2)解关于x的不等式:(2a1x)(x+m)>0,其中a是实数.

 

18.(12分)已知ABC中,AC=1ABC=www.ziyuanku.comBAC=x,记fx=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

1)求fx)解析式并标出其定义域;

2)设gx=6mfx+1m0),若gx)的值域为上的最小值;

3)若函数y=fx)图象上存在两点PQ,使得对任意给定的正实数a都满足POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,求点P的横坐标的取值范围.

 

 

 

湖南省永州市祁阳二中2015届高考数学三模试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共10题每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.

1.(5分)已知复数z满足(3+4iz=25,则z=()

      A                       34i                           B                             3+4i  C 34i   D 3+4i

 

考点:    复数相等的充要条件.

专题:    数系的扩充和复数.

分析:    根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得z的值.

解答:    解:复数z满足(3+4iz=25,则z=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=34i

故选:A

点评:    本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.

 

2.(5分)函数www.ziyuanku.com的定义域为()

      A                       (﹣4,﹣1              B                             (﹣41     C (﹣11    D (﹣11]

 

考点:    对数函数的定义域;函数的定义域及其求法.

专题:    计算题.

分析:    由题意知www.ziyuanku.com,解得﹣1x1,由此能求出函数www.ziyuanku.com的定义域.

解答:    解:由题意知,函数www.ziyuanku.com的定义域为

www.ziyuanku.com

解得﹣1x1

故选C

点评:    本题考查对数函数的定义域,解题时要注意不等式组的解法.

 

3.(5分)已知向量www.ziyuanku.com=λ+11),www.ziyuanku.com=λ+22),若(www.ziyuanku.com+www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com),则λ=()

      A                       4 B                       3 C                       2 D   1

 

考点:    数量积判断两个平面向量的垂直关系.

专题:    平面向量及应用.

分析:    利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.

解答:    解:www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=2λ+33),www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=0

﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=3

故选B

点评:    熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

 

4.(5分)把函数y=sinx+www.ziyuanku.com)图象上所有点向右平移www.ziyuanku.com个单位,再将所得图象的横坐标变为原来的www.ziyuanku.com倍(纵坐标不变),得图象的解析式是y=sinωx+ψ)(ω0|ψ|π),则()

      A                       ω=www.ziyuanku.comψ=www.ziyuanku.com           B                             ω=2ψ=www.ziyuanku.com   C ω=2ψ=0     D ω=2ψ=www.ziyuanku.com

 

考点:    y=Asinωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asinωx+φ)的图象变换.

专题:    三角函数的图像与性质.

分析:    第一次变换后得到的图象的解析式为 y=sinx,第二次变换后得到的图象的解析式是y=sin2x),而已知第二次变换后得到的图象的解析式是y=sinωx+ω),从而得到 sin2x=sinωx+ψ),由此求得ωψ的值.

解答:    解:把函数y=sinx+www.ziyuanku.com)图象上所有点向右平移www.ziyuanku.com个单位,所得图象的解析式为 y=sinxwww.ziyuanku.com+www.ziyuanku.com=sinx

再将所得图象的横坐标变为原来的www.ziyuanku.com倍(纵坐标不变),得图象的解析式是y=sin2x),

故有 sin2x=sinωx+ψ),∴ω=2ψ=0

故选C

点评:    本题主要考查函数y=Asinωx+)的图象变换规律,属于中档题.

 

5.(5分)等比数列{an}中,a4=2a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于()

      A                       6    B                       5    C                       4    D   3

 

考点:    等比数列的前n项和.

专题:    等差数列与等比数列.

分析:    利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10.再利用对数的运算性质即可得出.

解答:    解:数列{an}是等比数列,a4=2a5=5

a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10

lga1+lga2++lga8

=lga1a2•…•a8

=www.ziyuanku.com

4lg10

=4

故选:C

点评:    本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质,属于基础题.

 

6.(5分)a0函数fx=|x+a|在区间(0+)内单调递增的()

      A                                                         充分而不必要条件 B 充分必要条件

      C                                                         必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件

 

考点:    必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:    简易逻辑.

分析:    根据充分必要条件的定义,结合函数的对称性,从而得到答案.

解答:    解:fx)的图象关于x=a对称,函数在(﹣a)递减,在(a+)递增,

a0,能推出函数fx=|x+a|在区间(0+)内单调递增,是充分条件,

若函数fx=|x+a|在区间(0+)内单调递增,得到a0,是必要条件,

故选:B

点评:    本题考查了充分必要条件,考查了函数的单调性,是一道基础题.

 

7.(5分)已知实数xy满足不等式组www.ziyuanku.com,若目标函数z=yax取得最大值时的唯一最优解是(13),则实数a的取值范围为()

      A                       a<﹣l                         B                             0al    C al   D a1

 

考点:    简单线性规划.

专题:    不等式的解法及应用.

分析:    画出不等式组不是的可行域,将目标函数变形,数形结合判断出z最大时,a的取值范围.

解答:    解:不等式 www.ziyuanku.com的可行域

将目标函数变形得y=ax+z,当z最大时,直线的纵截距最大,画出直线y=axa变化,结合图象得到当a1时,直线经过(13)时纵截距最大.

故选D

www.ziyuanku.com

点评:    利用线性规划求函数的最值,关键是正确画出可行域,并能赋予目标函数几何意义,数形结合求出函数的最值.

 

8.(5分)定义在R上的函数fx)满足:fx+fx)>1f0=4,则不等式exfx)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()

      A                       0+                   B                             (﹣03+      C (﹣00+      D                       3+

 

考点:    利用导数研究函数的单调性;导数的运算.

专题:    导数的综合应用.

分析:    构造函数gx=exfx)﹣ex,(xR),研究gx)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解

解答:    解:设gx=exfx)﹣ex,(xR),

gx=exfx+exfx)﹣ex=ex

fx+fx)>1

fx+fx)﹣10

gx)>0

y=gx)在定义域上单调递增,

exfx)>ex+3

gx)>3

g0e0f0)﹣e0=41=3

gx)>g0),

x0

故选:A

点评:    本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.

 

9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=www.ziyuanku.comSm=www.ziyuanku.commnN*mn),则下列各值中可以为Sn+m的值的是()

      A                       2    B                       3    C                       4    D   5

 

考点:    等差数列的前n项和.

专题:    等差数列与等比数列.

分析:    首先设出等差数列的前n项和www.ziyuanku.com,由已知Sn=www.ziyuanku.comSm=www.ziyuanku.com列式求出AB,代入www.ziyuanku.com

后利用基本不等式得到Sn+m的范围,则答案可求.

解答:    解:{an}是等差数列,

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

两式相减得,Bmn=0,故www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

只有D符合.

故选:D

点评:    本题考查了等差数列的前n项和,解答此题的关键是明确等差数列前n项和的形式,是基础题.

 

10.(5分)已知方程www.ziyuanku.com=k在(0+)上有两个不同的解αβαβ),则下列的四个命题正确的是()

      A                                                         sin2α=2αcos2α B cos2α=2αsin2α

      C                                                         sin2β=2βsin2β     D cos2β=2βsina2β

 

考点:    余弦函数的图象.

专题:    导数的综合应用.

分析:    将方程www.ziyuanku.com=k转化为|cosx|=kx,作出两个函数的图象,利用数形结合,以及导数的几何意义即可得到结论.

解答:    解:www.ziyuanku.com=k|cosx|=kx

要使方程www.ziyuanku.com=kk0)在(0+)上有两个不同的解,则y=|cosx|的图象与直线y=kxk0)在(0+)上

有且仅有两个公共点,

所以直线y=kxy=|cosx|在(www.ziyuanku.comπ)内相切,且切于点(β,﹣cosβ),此时y=|cosx|=cosx

切线的斜率为sinβ=www.ziyuanku.com∴βsinβ=cosβ

2βsinβsinβ=2sinβcosβ

sin 2β=2βsin2β

故选:C

www.ziyuanku.com

点评:    本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,导数的几何意义,体现了转化的数学思想.

 

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25.

11.(5分)若www.ziyuanku.com,则k=4

 

考点:    定积分.

专题:    导数的综合应用.

分析:    利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出.

解答:    解:www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

1+www.ziyuanku.com=3,解得k=4

故答案为:4

点评:    熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键.

 

12.(5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是55

www.ziyuanku.com

 

考点:    程序框图.

专题:    算法和程序框图.

分析:    执行程序框图,写出每次循环得到的xyz的值,当z=55时不满足条件z50,输出z的值为55

解答:    解:执行程序框图,有

x=1y=1z=2

满足条件z50,有x=1y=2z=3

满足条件z50,有x=2y=3z=5

满足条件z50,有x=3y=5z=8

满足条件z50,有x=5y=8z=13

满足条件z50,有x=8y=13z=21

满足条件z50,有x=13y=21z=34

满足条件z50,有x=21y=34z=55

不满足条件z50,输出z的值为55

故答案为:55

点评:    本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.

 

13.(5分)已知正数xy满足x+2y=2,则www.ziyuanku.com的最小值为9

 

考点:    基本不等式.

专题:    不等式的解法及应用.

分析:    利用1和基本不等式即可得出.

解答:    解:正数xy满足x+2y=2

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=9,当且仅当x=4y=www.ziyuanku.com时取等号.

www.ziyuanku.com的最小值为9

故答案为:9

点评:    本题考查了1和基本不等式的性质,属于基础题.

 

14.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=2an1,则数列{an}的通项公式为an=2n1.(nN*

 

考点:    数列递推式.

专题:    计算题.

分析:    根据数列递推式,再写一式,两式相减,可得数列为等比数列,从而可得数列的通项公式.

解答:    解:Sn=2an1

n2时,Sn1=2an11

两式相减可得:an=2an2an1

an=2an1

n=1时,S1=2a11a1=1

数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列

an=2n1

故答案为:2n1

点评:    本题考查数列递推式,考查等比数列的通项,确定数列是等比数列是关键,属于中档题.

 

15.(5分)对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da0),给出定义:设fx)是函数y=fx)的导数,fx)是函数fx)的导数,若方程fx=0有实数解x0,则称点(x0fx0))为函数y=fx)的拐点,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.给定函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com,请你根据上面探究结果,解答以下问题:

1)函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com的对称中心坐标为www.ziyuanku.com1

2)计算fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com++fwww.ziyuanku.com=2014

 

考点:    利用导数研究函数的单调性;函数的值.

专题:    计算题;导数的综合应用.

分析:    1)二阶求导并令导数为0,从而可得x=www.ziyuanku.com,则fwww.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com+www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,从而得到对称中心坐标;

2)由函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com的对称中心坐标为(www.ziyuanku.com1)可得fx+f1x=2,从而化fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com++fwww.ziyuanku.com=fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com))+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com))++fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com));从而求解.

解答:    解:(1fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com

fx=x2x+3

fx=2x1

2x1=0,解得,x=www.ziyuanku.com

fwww.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com+www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1

故函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com的对称中心坐标为(www.ziyuanku.com1);

2函数fx=www.ziyuanku.comx3www.ziyuanku.comx2+3xwww.ziyuanku.com的对称中心坐标为(www.ziyuanku.com1),

fx+f1x=2

fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com++fwww.ziyuanku.com

=fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com))+fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com))++fwww.ziyuanku.com+fwww.ziyuanku.com))

=2×1007=2014

故答案为:(www.ziyuanku.com1),2014

点评:    本题考查了导数的综合应用,同时考查了学生对新定义的接受与应用能力,属于难题.

 

三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(12分)已知函数www.ziyuanku.comxR

1)求www.ziyuanku.com的值;

2)若www.ziyuanku.com,求www.ziyuanku.com

 

考点:    两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.

专题:    三角函数的求值.

分析:    1)直接把x=www.ziyuanku.com代入函数的解析式化简为﹣www.ziyuanku.comsinwww.ziyuanku.com,从而求得结果.

2)先求得cosθ的值,再利用二倍角公式可得sin2θ cos2θ的值,再根据,www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,运算求得结果

解答:    解:(1www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=1

2www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

=www.ziyuanku.com

点评:    本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题.

 

17.(12分)已知不等式www.ziyuanku.com的解为www.ziyuanku.com

1)求mn的值;

2)解关于x的不等式:(2a1x)(x+m)>0,其中a是实数.

 

考点:    一元二次不等式的应用;一元二次不等式的解法.

专题:    计算题.

分析:    1)利用不等式的解集与方程解之间的关系,可求mn的值;

2)根据不等式对应方程的两根的大小,进行分类讨论即可.

解答:    解:(1)依题意www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

2)原不等式为:(2a1x)(x1)>0,即(x1)<0

2a11,即a1时,原不等式的解集为{x|2a1x1}6分)

2a1=1,即a=1时,原不等式的解集为8分)

2a11,即a1时,原不等式的解集为{x|1x2a1}10分)

点评:    本题考查解不等式,考查不等式的解集与方程解之间的关系,解题的关键是明确不等式的解集与方程解之间的关系.

 

18.(12分)已知ABC中,AC=1ABC=www.ziyuanku.comBAC=x,记fx=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

1)求fx)解析式并标出其定义域;

2)设gx=6mfx+1m0),若gx)的值域为

考点:    正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用.

专题:    三角函数的求值;解三角形.

分析:    1)由正弦定理有:www.ziyuanku.com;利用数量积定义可得fx=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.com,化简即可;

2)利用正弦函数的单调性即可得出.

解答:    解:(1)由正弦定理有:www.ziyuanku.com

BC=www.ziyuanku.comsinxAB=www.ziyuanku.com

fx=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

2gx=6mfx+1=2mwww.ziyuanku.comm+1

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

m0时,gx=2mwww.ziyuanku.comm+1的值域为.

gx)的值域为

所以数列{an}是首项为www.ziyuanku.com,公比为2的等比数列,www.ziyuanku.com

bn=log2a2n+1×log2a2n+3

=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.com

=2n1)(2n+1),

www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com

=www.ziyuanku.com

=www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

点评:    本题考查数列与不等式的综合,考查裂项相消法对数列求和,考查等比数列的通项公式,属中档题.

 

20.(13分)由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度y与时间x的关系,可近似地表示为y=www.ziyuanku.com.只有当河流中碱的浓度不低于1时,才能对污染产生有效的抑制作用.

1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长?

2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,此后,每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度可能取得的最大值.

 

考点:    函数模型的选择与应用.

专题:    应用题.

分析:    1)利用分段函数解析式,分别列出不等式,解之,即可求得x的范围,从而可得能够维持有效抑制作用的时间;

2)确定函数www.ziyuanku.com在上单调递增,当2x4时,y=4x单调递减,进而可得函数,利用基本不等式,即可求得最值

解答:    解:(1)由题意,当0x2时,www.ziyuanku.comx25x+20www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com

0x2www.ziyuanku.com

2x4时,4x1x32x42x3

综上,得www.ziyuanku.com

即若1个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为www.ziyuanku.com

2)当0x2时,www.ziyuanku.comy=www.ziyuanku.com0函数www.ziyuanku.com在上单调递增,

2x4时,y=4x单调递减,所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,

2x4时,y=4x+=14﹣(2x+www.ziyuanku.com),

故当且仅当www.ziyuanku.com,即x=2www.ziyuanku.com时,y有最大值148www.ziyuanku.com

点评:    本题考查分段函数,考查解不等式,考查函数的单调性,考查利用基本不等式求函数的最值,确定函数的解析式是关键.

 

21.(13分)已知函数fx=www.ziyuanku.com和图象过坐标原点O,且在点(﹣1f(﹣1))处的切线的斜率是﹣5

1)求实数bc的值;

2)求函数fx)在区间上的最小值;

3)若函数y=fx)图象上存在两点PQ,使得对任意给定的正实数a都满足POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上,求点P的横坐标的取值范围.

 

考点:    利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题:    综合题;导数的概念及应用.

分析:    1)求导数,根据函数在点(﹣1f(﹣1))处的切线的斜率是﹣5,图象过坐标原点,即可求得实数bc的值;

2)当x1时,fx=x3+x2,求导函数,确定函数的单调性,计算函数值,从而可得函数fx)在区间上的最小值;

3)设Px1fx1)),因为PQ中点在y轴上,所以Q(﹣x1f(﹣x1)),根据OPOQ,可得www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,分类讨论,确定函数的解析式,利用www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,即可求得结论.

解答:    解:(1)当x1时,fx=x3+x2+bx+cfx=3x2+2x+b

函数在点(﹣1f(﹣1))处的切线的斜率是﹣5f(﹣1=5

32+b=5b=0

f0=0c=0

b=0c=0

2)当x1时,fx=x3+x2fx=3x2+2x

fx=0有﹣3x2+2x=0x=0x=www.ziyuanku.com

fx)>0,可得0xwww.ziyuanku.com;令fx)<01x11x0www.ziyuanku.com

函数在﹣10www.ziyuanku.com1出取得最值

f(﹣1=2f0=0fwww.ziyuanku.com=www.ziyuanku.comf1=0

函数fx)在区间上的最小值为0

3)设Px1fx1)),因为PQ中点在y轴上,所以Q(﹣x1f(﹣x1)),

OPOQwww.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1

x1=1时,fx1=0;当x1=1时,f(﹣x1=0www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com1

当﹣1x11时,fx1=www.ziyuanku.comf(﹣x1=www.ziyuanku.com,代入www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,可得www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com,无解;

x11时,fx1=alnx1f(﹣x1=www.ziyuanku.com,代入www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,可得www.ziyuanku.com

gx1=x1+1lnx1x11),gx1=lnx1+www.ziyuanku.com0gx1)是增函数

g1=0gx1)值域是(0+

对任意给定的正实数awww.ziyuanku.com恒有解,满足条件

PQ横坐标的对称性可得,当x1<﹣1时,fx1=www.ziyuanku.comf(﹣x1=aln(﹣x1),

代入www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com=1,可得www.ziyuanku.com

hx1=(﹣x1+1ln(﹣x1)(x1<﹣1),hx1=ln(﹣x1)﹣www.ziyuanku.com0hx1)是减函数

h(﹣1=0hx1)值域是(0+

对任意给定的正实数awww.ziyuanku.com恒有解,满足条件

综上所述,满足条件的点P的横坐标的取值范围为(﹣,﹣11+).

点评:    本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,正确分类,灵活运用导数是关键.

 

 

 

           

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