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2015年湖南高三数学三模试题及答案

信息类型:高考模拟题 -- 按类型分类 -- 高三_三模 日期:2015-09-17

2014年湖南省郴州市高考数学三模试卷(理科)

 

一、选择题

1.复数z满足(z2)(1i=2i为虚数单位),则z的共轭复数为(  )

    A 1i                  B                                1+i C                          3i      D 3+i

2.若随机变量xN14),Px0=m,则P0x2=(  )

    A 12m              B                                                             C           D 1m

3.设函数,且函数fx)为偶函数,则g(﹣2=(  )

    A 6                      B                                6 C                          2    D 2

4.已知αβ角的终边均在第一象限,则“αβ”sinαsinβ”的(  )

    A.充分不必要条件                                       B   必要不充分条件

    C.充要条件                                                  D  既不充分也不必要条件

5.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )

    A 10cm3               B                                20cm3                            C       30cm3     D 40cm3

6.阅读下边程序,若输入x987654,则输出a的值为(  )

    A 5                      B                                6    C                          7    D 8

 

7.已知在ABC中,AB=BC=3AC=4,设OABC的内心,若=m+n,则mn=(  )

    A 53                 B                                43                               C       23       D 34

8.在长度为3的线段上随机取两点,将其分成三条线段,则恰有两条线段的长大于1的概率为(  )

    A                       B                                    C                              D

9.抛物线y2=2pxp0)的焦点为F,已知点AB为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为(  )

    A                     B                                1    C                               D 2

10.设集合AR,如果x0R满足:对任意a0,都存在xA,使得0|xx0|a,那么称x0为集合A的一个聚点.则在下列集合中:

1Z+Z        2R+R

3{x|x=nN*} 4{x|x=nN*}

其中以0为聚点的集合有(  )

    A 1                  B                                2                                C       3 D 4

 

二、填空题(一)选做题(11-13题,考生只能从中选做二题,三题都做记前两题的得分)

11.在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 _________ 

12.已知ab均为正数且acos2θ+bsin2θ≤6,则cos2θ+sin2θ的最大值为 _________ 

13.几何证明选讲选做题)

如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BCD使BC=CD,过C作圆O的切线交ADE.若AB=6ED=2,则BC= _________ 

 

(二)必做题:14-16

14.设y=fx)为区间[01]上的连续函数,且恒有0fx1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组(每组N个)区间[01]上的均匀随机数x1x2xNy1y2yN,由此得到N个点(xiyi)(i=12N),再数出其中满足yifxi)(i=12N)的点数N1,那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 _________ 

15.数列{an}共有11项,a1=0a11=4,且|ak+1ak|=1k=12310.满足这样条件的不同数列的个数为 _________ 

16.已知函数y=sin4x+cos4xxR)的值域是[1],则

1)函数y=sin6x+cos6xxR)的值域是 _________ 

2)类比上述结论,函数y=sin2nx+cos2nxnN*)的值域是 _________ 

 

三、解答题

17.(12分)据《中国新闻网》1021报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间英语考试该如何改引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3600人调查,就是否取消英语听力的问题,调查统计的结果如下表:

态度

调查人群

应该取消

应该保留

无所谓

在校学生

2100

120

y

社会人士

600

x

z

已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持应该保留态度的人的概率为0.05

)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈,问应在持无所谓态度的人中抽取多少人?

)在持应该保留态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流,求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.

 

 

 

18.(12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在的平面互相垂直,BECFBECFBCF=AD=EF=2CD=2

)求证:DF平面ABE

)求直线AF与平面ABCD所成的角的大小.

 

19.(12分)如图,ABCD是边长为1百米的正方形区域,现规划建造一块景观带ECF,其中动点EF分别在CDBC上,且ECF的周长为常数a(单位:百米).

1)求景观带面积的最大值;

2)当a=2时,请计算出从A点欣赏此景观带的视角(即EAF).

 

20.(13分)已知数列{an}满足a1=1a2=3,且an+2=1+2|cos|an+|sin|nN*

1)证明:数列{a2n}nN*}为等比数列;

2)求数列{an}的通项公式;

3)设bk=a2k+(﹣1k1λ•2λ为非零整数),试确定λ的值,使得对任意kN*都有bk+1bk成立.

 

21.(13分)已知椭圆E=1ab0)上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为,左、右焦点分别为F1F2,点P是右准线上任意一点,过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点.

1)求椭圆E的标准方程;

2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;

3)点P的纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点MN,在线段MN上取点H,满足,试证明点H恒在一定直线上.

 

22.(13分)设函数fx=sinxcosx+1

)若fxax[0π]上恒成立,求a的取值范围;

)求证:sin

 


参考答案 

一、选择题

1C   2A

3A   4D

5B   6C 

7B   8D

9A   10B

二、填空题

11    12  

13     14  

15 120     16.(1 [1] ;(2 [1] 

三、解答题

17       解:(I抽到持应该保留态度的人的概率为0.05

=0.05,解得x=60  2分)

无所谓态度的人数共有3600210012060060=720 4分)

应在无所谓态度抽取720×=72人. 6分)

)由(I)知持应该保留态度的一共有180人,

在所抽取的6人中,在校学生为=4人,社会人士为=2人,

于是第一组在校学生人数ξ=1238分)

Pξ=1=Pξ=2=Pξ=3=

ξ的分布列为:

ξ                    1                    2                    3

P                                                         

10分)

Eξ=1×+2×+3×=2  12分)

18       )证明:ABCD是矩形,ABCD

BECFABBE=B

平面ABE平面DCF

DF平面DCFDF平面ABE

)解:过点EGECFCF于点G

由已知可得:EGBCAD,且EG=BC=AD

EG=AD=,又EF=2GF=1

四边形ABCD是矩形,DCBC

∵∠BCF=FCBC

又平面ABCD平面BEFC,平面ABCD平面BEFC=BC

FC平面ABCDFCCD

分别以C为原点,CBCDCF所在直线为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

BE=m,则AB=λm

Aλm0),E),F00m+1),D0λm0),

平面AFE的法向量=),又CDCEF

=0λm0)是平面CEF的一个法向量,

cos=||==,解得

AD=EF=2CD=2AB=1

BE=CF=

F00),A10),

又平面ABCD的法向量=001),

设直线AF与平面ABCD所成的角为θ

sinθ=|cos|==

直线AF与平面ABCD所成的角为arcsin

19       解:(1)设EC=xCF=y,则x+y+=a

由基本不等式,x+y+2+=2+3分)

所以,ECF的面积S=xy=5分)

当且仅当x=y=时等号成立

故景观带面积的最大值为6分)

2)记EAD=αFAB=βαβ0),α+β0),

tanα=1xtanβ=1y

tanα+β==

由()可得,xy=ax+y)﹣,即xy=2x+y)﹣210分)

代入上式可得,tanα+β=1

所以α+β=

所以EAF=﹣(α+β=

故当a=2时,视角EAF为定值14分)

20       解:(1)设n=2kkN*

a2k+2=1+2|coskπ|a2k+|sinkπ|=3a2k,又a2=3

nN*时,数列{a2n}为首项为3,公比为3的等比数列;4'

2)设n=2k1kN*

a2k+1=1+2|coskπ|a2k1+|sinkπ|=a2k1+1

kN*时,{a2k1}是等差数列

a2k1=a1+k11=k6'

又由(1)当kN*时,数列{a2k}为首项为3,公比为3的等比数列

a2k=a23k1=3k6'

综上,数列{an}的通项公式为8'

3bk=a2k+(﹣1k1λ•2=3k+(﹣1k1λ•2k

bk+1bk=3k+1+(﹣1kλ•2k+13k﹣(﹣1k1λ•2k=23k+(﹣1kλ•32k

由题意,对任意kN*都有bk+1bk成立

bk+1bk=23k+(﹣1kλ•32k0恒成立

23k>(﹣1k1λ•32k对任意kN*恒成立11'

k为奇数时,

23kλ•32kλ对任意kN*恒成立

kN*,且k为奇数,

=1

∴λ113'

k为偶数时,

23k>﹣λ•32kλ>﹣对任意kN*恒成立

kN*,且k为偶数,

∴λ>﹣15'

综上:有﹣λ112'

∵λ为非零整数,∴λ=116'

21       解:(1)由题意可得,解得c=1

所以椭圆E

2)由(1)可知:椭圆的右准线方程为

P3y0),Qx1y1),

因为PF2F2Q,所以

所以﹣y1y0=2x11

又因为代入化简得

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值

3)设过P33)的直线l与椭圆交于两个不同点Mx1y1),Nx2y2),点Hxy),

,则

3x13y1=λx23y23),(xx1yy1=λx2xy2y

整理得

从而

由于我们知道的系数之比为23的系数之比为23

所以点H恒在直线2x+3y2=0上.

22       解:(函数fx=sinxcosx+1

设函数Fx=sinxcosx+1ax

Fx=cosx+sinxa

fxax[0π]上恒成立,

函数Fx=sinxcosx+1axF0=0

只需Fx=cosx+sinxa0恒成立,

即:asinx+cosxmin

sinx+cosx=sinx+),

sinx+cosx的最小值为﹣

a

a的取值范围(﹣.﹣]

)(用数学归纳法证明)

n=1时,sin=,成立,

假设当n=mmN时成立,即

sin+sin+sin++sin

n=m+1mN时,

sin+sin+sin++sin+sin

+sin+

n=m+1mN时成立,

原命题成立.

 

 

 

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