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2016年高考数学真题:高考数学三角函数变换

信息类型:高考真题 日期:2016-07-20

  3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

  课时目标  1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用.

  1.两角和与差的正切公式

  (1)T(α+β):tan(α+β)=_____________________________________________________.

  (2)T(α-β):tan(α-β)=______________________________________________________.

  2.两角和与差的正切公式的变形

  (1)T(α+β)的变形:

  tanα+tanβ=____________________________________________________________.

  tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=____________.

  tan α•tan β=______________________________________________________________.

  (2)T(α-β)的变形:

  tan α-tan β=______________________________.

  tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=____________.

  tanαtanβ=______________________________________________________________.

  一、选择题

  1.已知α∈π2,π,sinα=35,则tanα+π4的值等于(  )

  A.17    B.7    C.-17   D.-7

  2.若sinα=45,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,则tanβ的值是(  )

  A.43B.-43C.-7D.-17

  3.已知tanα=12,tanβ=13,0<α<π2,π<β<3π2,则α+β的值是(  )

  A.π4B.3π4C.5π4D.7π4

  4.A,B,C是△ABC的三个内角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是(  )

  A.钝角三角形B.锐角三角形

  C.直角三角形D.无法确定

  5.化简tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°的值等于(  )

  A.1B.2C.tan10°D.3tan20°

  6.在△ABC中,角C=120°,tanA+tanB=233,则tanAtanB的值为(  )

  A.14B.13C.12D.53

  题 号 1 2 3 4 5 6

  答 案

  二、填空题

  7.1+tan75°1-tan75°=________.

  8.已知tanπ4+α=2,则12sinαcosα+cos2α的值为________.

  9.如果tanα,tanβ是方程x2-3x-3=0两根,则sin(α+β)cos(α-β)=________.

  10.已知α、β均为锐角,且tanβ=cosα-sinαcosα+sinα,则tan(α+β)=________.

  三、解答题

  11.在△ABC中,tanB+tanC+3tanBtanC=3,且3tanA+3tanB+1=tanAtanB,试判断△ABC的形状.

  12.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为210,255.

  求tan(α+β)的值.

  能力提升

  13.已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

  14.已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=35,sin(A-B)=15.

  (1)求证:tanA=2tanB;

  (2)设AB=3,求AB边上的高.

  1.公式T(α±β)的适用范围

  由正切函数的定义可知α、β、α+β(或α-β)的终边不能落在y轴上,即不为kπ+π2(k∈Z).

  2.公式T(α±β)的逆用

  一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换如tanπ4=1,tanπ6=33,tanπ3=3等.

  要特别注意tan(π4+α)=1+tanα1-tanα,tan(π4-α)=1-tanα1+tanα.

  3.公式T(α±β)的变形应用

  只要见到tanα±tanβ,tanαtanβ时,有灵活应用公式T(α±β)的意识,就不难想到解题思路.

  3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

  答案

  知识梳理

  1.(1)tanα+tanβ1-tanαtanβ (2)tanα-tanβ1+tanαtanβ

  2.(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ) tan(α+β) 1-tanα+tanβtan(α+β)

  (2)tan(α-β)(1+tanαtanβ) tan(α-β) tanα-tanβtan(α-β)-1

  作业设计

  1.A 2.C 3.C

  4.A [tanA+tanB=53,tanA•tanB=13,

  ∴tan(A+B)=52,∴tanC=-tan(A+B)=-52,

  ∴C为钝角.]

  5.A [原式=tan10°tan20°+3tan20°+3tan10°

  =3(tan10°+tan20°+33tan10°tan20°)

  =3tan30°=1.]

  6.B [tan(A+B)=-tanC=-tan120°=3,

  ∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=3,即2331-tanAtanB=3,解得tanA•tanB=13.]

  7.-3

  8.23

  解析 ∵tanπ4+α=2,∴1+tanα1-tanα=2,

  解得tanα=13.∴12sinαcosα+cos2α=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=19+123+1=23.

  9.-32

  解析 sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31+(-3)=-32.

  10.1

  解析 tanβ=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα.

  ∴tanβ+tanαtanβ=1-tanα.

  ∴tanα+tanβ+tanαtanβ=1.

  ∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ.

  ∴tanα+tanβ1-tanαtanβ=1,∴tan(α+β)=1.

  11.解 由tanB+tanC+3tanBtanC=3,

  得tanB+tanC=3(1-tanBtanC).

  ∴tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC=3,

  又∵B+C∈(0,π),∴B+C=π3.

  又3tan A+3tan B+1=tan Atan B,

  ∴tan A+tan B=-33(1-tan Atan B),

  ∴tan(A+B)=tan A+tan B1-tan Atan B=-33,

  而A+B∈(0,π),∴A+B=5π6,又∵A+B+C=π,

  ∴A=2π3,B=C=π6.∴△ABC为等腰三角形.

  12.解 由条件得cosα=210,cosβ=255.

  ∵α,β为锐角,∴sinα=1-cos2α=7210,

  sinβ=1-cos2β=55.

  因此tanα=sinαcosα=7,tanβ=sinβcosβ=12.

  tan(α+β)=tan α+tan β1-tan α•tan β=7+121-7×12=-3.

  13.解 tan α=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tan β1-tan(α-β)tan β=13>0.

  而α∈(0,π),故α∈(0,π2).

  ∵tan β=-17,0<β<π,∴π2<β<π.

  ∴-π<α-β<0.而tan(α-β)=12>0,

  ∴-π<α-β<-π2.

  ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).

  ∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan α+tan(α-β)1-tan αtan(α-β)=1,

  ∴2α-β=-3π4.

  14.(1)证明 ∵sin(A+B)=35,sin(A-B)=15,

  ∴sinAcosB+cosAsinB=35sinAcosB-cosAsinB=15⇒sinAcosB=25cosAsinB=15⇒tanAtanB=2,所以tanA=2tanB.

  (2)解 ∵π2

  将tanA=2tanB代入上式并整理得,2tan2B-4tanB-1=0.

  解得tanB=2±62,舍去负值,得tanB=2+62.

  ∴tanA=2tanB=2+6.设AB边上的高为CD.

  则AB=AD+DB=CDtanA+CDtanB=3CD2+6.

  由AB=3,得CD=2+6.∴AB边上的高等于2+6.

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