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动图看数学,知识有无限的可能!

日期:2016-02-19 来源:互联网 浏览量:
动图看数学,知识有无限的可能!
动图看数学,知识有无限的可能!

  直与弯

  

  咦?一根直杆为什么能从弯曲的洞中穿过?

  想想这其实不奇怪。这根杆是斜着的,杆中间的点离旋转轴最近,因此对应的洞上的点离旋转轴也最近;杆的两边离旋转轴较远,因此对应的洞上的点离旋转轴也远。所以,这个洞不会是直线,只会是一条曲线。

  那这是什么曲线?感兴趣的读者可以自己动手算一算。答案是双曲线。

  把这个曲线绕旋转轴旋转一周,形成一个曲面,叫做单叶双曲面。看看下图你就会发现,这根杆所在直线是这个曲面的一部分:

  

  对于一个曲面,如果经过曲面上的每一点都有一根直线在曲面上,我们就称之为直纹曲面。圆柱面、圆锥面都是直纹曲面的例子,单叶双曲面也是如此,只不过它上面的直线看起来不是那么显而易见。单叶双曲面还有一个神奇的地方:通过它上面的每一个点,都有两条直线在曲面上。

  动图看数学,知识有无限的可能!1

  这样的特点使得单叶双曲面在建筑当中也有特殊的应用,比如说俗称“小蛮腰“的广州新电视塔。

  录制者:Shadow(该模型实物位于西班牙瓦伦西亚科学博物馆)

  圆锥曲线

  

  大家都知道,椭圆、抛物线、双曲线这些曲线称为“圆锥曲线”。但这个词是怎么来的呢?

  既然叫圆锥曲线,当然与圆锥有关。首先,我们来想象一个圆锥——确切地说,是一个圆锥面。它是一条直线绕与它相交(但不垂直)的另一条直线旋转一周所形成的曲面。我们平常所见的圆锥体的侧面,只是圆锥面的一部分。

  然后,我们用一个平面去截它。平面与圆锥面相交之处,是一条曲线。由于整条曲线都在这个平面上,我们可以把它看作一个平面曲线。这便是圆锥曲线。平面与圆锥的旋转轴所成的角度不同,曲线就会变成不同的形状:圆、椭圆、抛物线、双曲线(其中圆可以看作是一种特殊的椭圆)。

  对圆锥曲线的研究是从古希腊开始的。那时还没有解析几何,数学家研究圆锥曲线的时候,采用的就是上面的定义。古希腊数学家阿波罗尼奥斯就是从这样的定义出发,写下了八卷《圆锥曲线论》。

  图中还展示了一些圆锥曲线的退化情形:在平面经过圆锥的顶点的时候,圆锥曲线会变成两条相交的直线,两条重合的直线,或者一个点。

  圆面积公式

  

  圆面积公式大家都学过,你还记得课本中如何讲解这个公式的推导吗?在我当年学习的人教版的教材中,是把圆剪成了一个个小扇形,然后把它们近似地拼成一个长为πr,宽为r的矩形。扇形裁得越小,拼出来的东西也就越接近矩形,然后用矩形的面积公式就可以计算了。

  而这里用了另一种办法:把圆拆成一个个同心的细圆环。然后,把这些圆环展开,变成高为r,底边长为2πr的的三角形。当然,这谈不上是严谨的证明,但其中已经蕴含了一些微积分的思想。我们甚至可以利用类似于古希腊穷竭法的办法,把它写成一个相对严谨的证明。

  无限雪花

  

  “分形”这个词大家可能已经见过很多次了。它的特点是自相似。比如说,上图中的科赫曲线,它的局部放大之后和整体长得一模一样。

  那这样的曲线是怎样画出来的呢?

  我们先画一条线段,然后把它三等分,将中间的那一段换成两段同样长的线段。这样,我们就有了四条线段。对这四条线段也重复这一过程。每重复一次,称为一次迭代。无限地迭代下去之后,我们就得到了科赫曲线。当然,实际画图的时候,不可能真的无限迭代下去,常常只需要迭代有限多次,直到看不出区别了为止。

  Matrix67在他的博客中也展示过科赫曲线的绘制过程:

  

  在这里还可以看到一个三维的分形动图,3D眩晕者慎点。

  朱利亚集

  

  这是另外一种分形——朱利亚集(Julia set)。什么是朱利亚集?我们首先固定一个常数C,对复平面上的一个点,不断地重复进行变换z→z2+C。这样得到的一些点会越跑越远,一直趋向于无穷;而另一些点则一直呆在原点附近,不会跑出一个有限范围。第二类的点所构成的集合,就是朱利亚集。当常数C取值不同时,画出来的朱利亚集也会不同。上面的动图就展示了在C变化时朱利亚集的变化。由这种方式生成的分形图案被称为“逃逸时间分形”。

  但是,严格来说,上面所说的只是“填充”的朱利亚集(filled-in Julia set)。真正的朱利亚集是它的边界,也就是上图中的白色线条部分。前面所讲的变换,只是一个二次多项式。对于“填充”的朱利亚集,这个概念可以推广到一般的多项式。对于真正的朱利亚集,还可以推广到分式。

  而真正的朱利亚集又有另外一种画法:

  

  先选取一些点,然后对它们不断地进行该变换的“逆变换”——准确的说法是取它们在这个变换下的原像,而一个点的原像往往不止一个。对变换z→z2+C来说,它的原像就是先减去常数C——在图上看来就是平移;然后开平方根——一个数的平方根有两个,在图上看来是先扭一扭,再复制一个到下半平面。每一步都一个变两个,因此出来的点会越来越多。这些点的极限便是朱利亚集。

  布朗树

  

  这又是另外一种类型的分形——布朗树,生成这种分形的过程,则叫做扩散限制聚集(Diffusion-limited aggregation,简称DLA)。

  这过程说起来也很简单:我们有很多粒子和一枚“种子”,粒子在空间中随机游走,但只要碰到种子就会在聚集它上面。种子上聚集的粒子越来越多,就会长成一棵有着错综复杂的结构的“大树”。

  科赫曲线和朱利亚集都很漂亮,但在日常生活中不太容易看到。布朗树就不一样了,我们可以在很多地方看到自然形成的布朗树构造,比如说,在皮蛋上:

  


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